Прямоугольный параллелепипед.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. a, b, c – линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда d2=a2+b2+c2;

2) Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н или Sбок.=2 (a+b)·c;

3) Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок. или

Sполн.=2 (ab+ac+bc);

4) Объем прямоугольного параллелепипеда V=Sосн.∙Н илиV=abc.

Куб.

1) Все грани куба – квадраты со стороной а.

2) Диагональ куба d=a√3.

3) Боковая поверхность куба Sбок.=4а2;

4) Полная поверхность куба Sполн.=6а2;

5) Объем куба V=a3.

Прямой параллелепипед (в основании лежит параллелограмм или ромб, боковое ребро перпендикулярно основанию).

1) Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н.

2) Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.

3) Объем прямого параллелепипеда V=Sосн.∙Н.

Наклонный параллелепипед.

В основании параллелограмм или прямоугольник или ромб или квадрат, а боковые ребра НЕ перпендикулярны плоскости основания.

1) Объем V=Sосн.∙Н;

2) Объем V=Sсеч.∙l, где l— боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения наклонного параллелепипеда, проведенного перпендикулярно боковому ребру l.

Прямая призма.

Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н;

Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.;

Объем прямой призмы V=Sосн.∙Н.

 

Наклонная призма.

Боковая и полная поверхности, а также объем можно находить по тем же формулам, что и в случае прямой призмы. Если известна площадь сечения призмы, перпендикулярного ее боковому ребру, то объем V=Sсеч.∙l,где l- боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения,  перпендикулярного боковому ребру l.

 

Пирамида.

1) боковая поверхность Sбок. равна сумме площадей боковых граней пирамиды;

2) полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.;

3) объем V=(1/3) Sосн.∙Н.

4) У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, т. е. в центр описанной и вписанной  окружностей.

5) Апофема l –это высота боковой грани правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды Sбок.=(½) Pосн.∙l.

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

 

Усеченная пирамида.

Если S и  s соответственно площади оснований усеченной пирамиды, то объем любой усеченной пирамиды

 

где h-высота усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды

 

где P и p соответственно периметры оснований правильной усеченной пирамиды,

l-апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды).

Цилиндр.

Боковая поверхность Sбок.=2πRH;

Полная поверхность Sполн.=2πRH+2πR2 или Sполн.=2πR (H+R);

Объем цилиндра V=πR2H.

 

Конус.

Боковая поверхность Sбок.= πRl;

Полная поверхность Sполн.=πRl+πR2 или Sполн.=πR (l+R);

Объем пирамиды V=(1/3)πR2H. Здесь l – образующая, R — радиус основания, H – высота.

Шар и сфера.

Площадь сферы S=4πR2; Объем шара V=(4/3)πR3.

R – радиус сферы (шара).