Теорема Пифагора. 

 

 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b².

 

Площадь прямоугольного треугольника.

SΔ=(½) a∙b, где a и b — катеты или SΔ=(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

    2r=a+b-c

 

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу: h2=ac∙bc;

а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу: a2=c∙ac  и b2=c∙bc  (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: h, a, b — средние члены соответствующих пропорций).

Теорема синусов. 

 

 

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

 

 

Следствие из теоремы синусов. 

Каждое из отношений стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

 

 

 

Теорема косинусов.

 

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других ее сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

 

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике (длины боковых сторонравны) высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

 

 Сумма внутренних углов любого треугольникасоставляет 180°, т. е. ∠1+∠2+∠3=180°.

 Внешний угол треугольника (∠4) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. ∠4=∠1+∠2.

 

Средняя линия  треугольника соединяет середины боковых сторон треугольника.

Средняя линия  треугольника параллельна основанию и равна его половине: MN=AC/2.

 

 

Площадь треугольника.

 

Формула Герона.

 

Центр тяжести треугольника.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы, проведенной к стороне а:

 

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса угла треугольника.

1) Биссектриса угла любого  треугольника делит противоположную сторону на части, соответственно пропорциональные боковым сторонам треугольника:

 

2) если AD=βa, то длина биссектрисы:

 

3) Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Площадь треугольника SΔ=(½) P∙r, где P=a+b+c, r-радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

 

 Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника:

 

 

 

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R=АВ/2;

Медианы  прямоугольных треугольников, проведенных к гипотенузе, равны половине гипотенузы (это радиусы описанной окружности) OC=OC1=R.