Определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:AB||CD, AD||DC.

 

Cвойства параллелограмма.

Противоположные стороны параллелограмма равны:AB=CD, AD=DC.

 

Противоположные углы параллелограмма равны:

∠A=∠C, ∠B=∠D.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°.Например, ∠A+∠B=180°.

 

 

Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.

 

 

 

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

(d1)2+(d2)2=2 (a2+b2).

Признаки параллелограмма.

·        Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

·        Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

·        Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Площадь параллелограмма.

1) S=ah;

2) S=ab∙sinα;

3) S=(½) d1∙d2∙sinβ.

Прямоугольник.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. ABCD — прямоугольник.  Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

 

Диагонали прямоугольника равны.

AC=BD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α.

 

d1=d2 – диагонали прямоугольника равны. α – угол между диагоналями.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов сторон прямоугольника:

(d1)2=(d2)2=a2+b2.

Площадь прямоугольника можно найти по формулам:

1) S=ab;  2) S=(½)· d²∙sinα; (d- диагональ прямоугольника).

Около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей; диагонали являются диаметрами окружности.

Ромб.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ABCD — ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

 

 

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

AC | BD.  

 

 

 

 

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

 

Площадь ромба.

 

1) S=ah;

2) S=a2∙sinα;

3) S=(½) d1∙d2;

4) S= P∙r, где P – периметр ромба, r – радиус вписанной окружности.

Квадрат.

Все стороны квадрата равны, диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагональ квадрата d=a√2.

Площадь квадрата.  1) S=a2; 2) S=(½) d2.

Трапеция.

Основания трапеции AD||BC, MN-средняя линия

MN=(AD+BC)/2.

 Площадь трапеции  равна  произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=(AD+BC)∙BF/2 или  S=(a+b)∙h/2.

 В равнобедренной (равнобокой) трапеции длины боковых сторон равны; углы при основании равны.

Площадь любого четырехугольника.

·        Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S=(½) d1∙d2∙sinβ.

·        Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:

S=(½) P∙r.

Вписанные и описанные четырехугольники.

В выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

AC∙BD=AB∙DC+AD∙BC.

 

 

 

Если суммы противолежащих углов четырехугольника равны по 180°, то около четырехугольника можно описать окружность. Обратное утверждение также верно.

 

 

 

Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны (a+c=b+d), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Обратное утверждение также верно.